Obliczyć granicę ciągu \(\displaystyle{ \left Tutaj też nie wiem jak się do tego zabrać. wszystkie wyrazy ma równe 1 więc nie ma co liczyć. Dobrze dobrana instalacja słoneczna powinna w pełni odpowiadać faktycznemu zapotrzebowaniu na energię elektryczną w skali roku. Dzięki temu instalacja wyprodukuje nadwyżkę energii w lecie, aby zimą móc korzystać ze zgromadzonych zapasów przez Twoje panele fotowoltaiczne. Dlatego też tak istotne jest dokładne określenie ilości energii zużywanej w danym budynku. W oszacowaniu tej wartości pomogą Ci nasi specjaliści. Podczas wstępnego audytu telefonicznego przeprowadzimy niezbędne obliczenia, które pozwolą na dokładne dopasowanie mocy paneli do Twoich czekaj i już teraz zainwestuj w instalację fotowoltaiczną!Instalacja fotowoltaiczna – zapotrzebowanie przeciętnego gospodarstwa domowegoPrzeciętne gospodarstwo domowe w Polsce zużywa około 4200 kWh energii elektrycznej w ciągu roku. Dom mieszczący się w tej uśrednionej wartości zużycia potrzebuje instalacji słonecznej o mocy mniej więcej 5,00 - 5,25 wszystko warto jednak obliczyć dokładne zapotrzebowanie dla własnego domu, mając na uwadze fakt, że każda rodzina w nieco inny sposób wykorzystuje wszelkie urządzenia obliczyć zapotrzebowanie energii na własną rękę?Nasi doradcy obliczą to za Was, jednakże istnieje możliwość samodzielnego obliczenia wartości zapotrzebowania na prąd, jak i jego zużycia. Pomocne będą w tym gotowe dokładnie przeanalizować rachunki za prąd z ostatniego roku, jak i tabliczki znamionowe na urządzeniach elektrycznych w domu. Najłatwiejszym sposobem jest sprawdzenie rocznego zużycia energii w kWh na rachunku lub na portalu Twojego Operatora Energii. Kiedy masz już wszystkie niezbędne dane, wystarczy podstawić je do poniższego wzoru:Potrzebna moc instalacji [kWp] = roczne zużycie energii w kWh x 1,2 (lub sposobem na obliczenie potrzebnej mocy instalacji jest poniższy wzór. Jest on mniej dokładny niż pierwsze wyliczenie, ponieważ średni rachunek może zależeć od wielu wartości - różne taryfy: G11, G12, G12w lub różne opłaty handlowe. Dlatego najbardziej rekomendowanym rozwiązaniem jest sprawdzenie dokładnego, rocznego zużycia energii na przestrzeni kilku lat i na tej podstawie dopasowanie mocy instalacji. Drugi, mniej dokładny wzór na obliczenie mocy instalacji wygląda następująco:Moc instalacji [kWp] = [uśredniony miesięczny rachunek za prąd x 12 miesięcy x 2(współczynnik uwzględniający sposób rozliczania energii z fotowoltaiki przez Zakład Energetyczny)/ roczną produkcję z 1kWp ( W Polsce średnio 1000 kWh na m²)Są to szacunkowe wyliczenia. Warto pamiętać, że nasi specjaliści wykonają dokładne obliczenia i dobiorą moc instalacji do Państwa potrzeb. Nasi doradcy wezmą również pod uwagę kąt nachylenia Twojej przyszłej instalacji oraz zorientowanie domu względem słońca, aby jak najlepiej przedstawić Ci tym dwóm powyższym wzorom możesz w prosty sposób obliczyć, jaka moc instalacji fotowoltaicznej będzie dla Ciebie swój adres i otrzymaj darmową wycenę! Ile potrzebuję paneli fotowoltaicznych, aby pokryć zapotrzebowanie mojego domu?Ważnym aspektem instalacji fotowoltaicznej jest jej wielkość. Zbyt mała ilość paneli nie zaspokoi zapotrzebowania gospodarstwa, przez co wysokość rachunków ulegnie tylko częściowemu zmniejszeniu. Zbyt duża natomiast oznaczać będzie ogromną nadprodukcję, której nie będzie można zużytkować, co może skutkować utraceniem wyprodukowanej wyliczyć optymalną ilość paneli fotowoltaicznych?Ilość potrzebnych paneli fotowoltaicznych zależy od wielu czynników. Między innymi od nasłonecznienia terenu, ustawienia domu względem kierunków geograficznych, zużycia energii w gospodarstwie, rodzaj i wielkość dachu oraz wielu innych. Prawidłowe wyliczenie tych wszystkich parametrów najlepiej pozostawić naszym doradcom, którzy posiadają doświadczenie i prawidłowo ocenią warunki. Takie wyliczenie jest zupełnie darmowe i nie zobowiązuje do dalszej współpracy. Wystarczy wejść na stronę i wpisać swój adres, a następnie otrzymać wstępne wyliczenia dotyczące instalacji czego zależy wielkość instalacji fotowoltaicznej?Należy zauważyć przede wszystkim, że instalacja fotowoltaiczna nie pracuje jednakowo przez cały rok. Nadmiar wyprodukowanej energii w lecie powinien pokryć jej niedobory zimą. Podobne wyrównanie istnieje w systemie dobowym. Prąd wykorzystywany nocą powinien być pokrywany z energii pozyskiwanej w dzień. Panele fotowoltaiczne są również zależne od warunków pogodowych, i to także powinno wziąć się pod uwagę podczas liczenia. W czasie deszczu uzyskamy mniej prądu niż w słoneczny dzień. Wszystkie te aspekty są ujmowane statystycznie w programach, które wyliczają zapotrzebowanie na panele fotowoltaiczne. Nasi specjaliści na podstawie analizy średniej wieloletniej nasłonecznienia oraz wyliczeniu dokładnych uzysków w danej szerokości geograficznej są w stanie precyzyjnie obliczyć parametry pracy ważnych poziomówMoc paneli fotowoltaicznych podaje się najczęściej w kWp (kilowatopikach). Jest to jednostka określająca moc instalacji fotowoltaicznej, która mówi jaką maksymalną wydajność mogą osiągnąć panele w warunkach laboratoryjnych. W zależności od mocy zmieniają się pewne warunki ich można tu dwie takie granice: 10 kWp oraz 50 kWp. Przy pierwszej zmieniają się warunki rozliczania z operatorem sieci. Poniżej 10 kWp operator pobiera 20% energii oddanej do sieci jako opłaty za magazynowanie i przesył. Powyżej 10 kWp wartość tej opłaty rośnie do 30%. Natomiast instalacje powyżej 50 kWp traktowane są jako przemysłowe i wymagają pozwolenia na wiedzieć, że dla zwykłego gospodarstwa domowego instalacja o mocy 4 do 7 kWp jest zazwyczaj zupełnie wystarczająca. Sprawdź to, używając naszego kalkulatora fotowoltaiki. Oblicz swoje zapotrzebowanie na naszej stronie Otovo!

Własności i granice ciągów. Obliczyć granicę ciągu. ale że x są w mianownikach to też będą dążyć do 0 więc wynik taki sam jak w b. proszę o

Na tej stronie znajduje się zestawienie wielu różnych granic. Więcej przykładów wraz z omówieniem teorii znajdziesz w kolejnych podrozdziałach. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3\).\(3\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3=0+3=3\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}\).\(-\sqrt{2}\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21\).\(21\)\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21 &=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{n}+21=\\[16pt] &=\frac{1}{5}\cdot 0+21=\\[16pt] &=0+21=21 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}\).\(0\) \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}=0+0-0=0\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n^2+1-(2n^2-1)\right)}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)\)\(\frac{3\sqrt{7}}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(7n^2+3-(7n^2-3)\right)}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n}{n}}{\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{\sqrt{7+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{7-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\)\(-\frac{5}{9}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\ \frac{:n^6}{:n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n^6}{n^6}-\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{9n^6}{n^6}}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{5-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-9}=\\[15pt] &=-\frac{5}{9} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}=\\[12pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{4n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{2n}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}\)\(-1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+3+...+(2n-1)\right)-(2+4+...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &\{\text{w liczniku mamy dwie sumy ciągów arytmetycznych}\}\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n-1)+1}{2}\cdot n-\dfrac{2n+2}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n^2-n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-\dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{-1}{\sqrt{1}}=-1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}\)\(\frac{4}{3}\) W liczniku mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \] W mianowniku również mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \] Zatem mamy: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\)\(1\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\ \frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\sqrt{\dfrac{n}{n^2}+\sqrt{\dfrac{n}{n^4}}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n^3}}}}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{2}\cdot 2^\tfrac{1}{4}\cdot ...\cdot 2^\tfrac{1}{2^n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+...+\tfrac{1}{2^n}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{1}}=\\[16pt] &= 2^1=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6\sqrt{n}+1-n}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}\frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n}{n}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+6\sqrt{\dfrac{n}{n^2}}+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+6\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{1}{n}}+1}=\\[16pt] &= \frac{6+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)W liczniku pod pierwiastkiem mamy sumę ciągu arytmetycznego, zatem: \[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2}}}{n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2n^2}}}{1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}=\\[16pt] &=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\cdot \frac{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+\sqrt{n+1}-n^2+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)(n+1-n)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1+\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}}}=\\[16pt] &=\frac{1+0+1+1+1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2)+(n+1)!}{(n+1)!\cdot (n+2)-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+3)}{(n+1)!\cdot (n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{n+1}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\frac{1}{1}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}\)\(\infty \)\[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}&=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n\left(1+\left(\dfrac{5}{7}\right)^n\right)}{5^n\left(1+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{5}\right)^n=\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} n(\ln (n+1)-\ln n)\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} n\left(\ln \frac{n+1}{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln e=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}\)\(\log_23\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\frac{\log_2(n+1)}{\log_23}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \log_23=\\[16pt] &=\log_23 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)\)\(-\infty \)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 3^n\left(\frac{1}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right)=\\[16pt] &=-\lim_{n \to \infty} 3^n=-\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n\)\(e^5\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^\dfrac{n}{5}\right]^5=\\[16pt] &=e^5 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=e^0=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}\)\(e^6\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{6}}\right]^6=\\[6pt] &=e^6 \end{split} \]Oblicz granice funkcji \(\lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)\)7\[ \lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)=(-3)^2+3\cdot (-3)+7=7 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} \)\(0\)\[ \lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} =\frac{\sqrt{4^2-16}}{4\cdot 4+2}=\frac{0}{18}=0 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} =\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x+3}=\\[15pt] &=\frac{0}{6}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} \)\(4\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)=\\[16pt] &=2\cdot 2=4 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{z \to -2} \frac{z^3+4z^2+4z}{z^2-z-6}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{z \to -2}\frac{z(z^2+4z+4)}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)^2}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)}{z-3} =\\[16pt] &=\frac{0}{-5}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\)\(\frac{2}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\dfrac{1}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}}=\\[16pt] &=\frac{2}{7} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x} \)\(-\sqrt{2}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}\cdot \frac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{|x^2|}-\dfrac{1}{|x^2|}}}{\dfrac{x}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\dfrac{0+\sqrt{2-0}}{-1}=\\[16pt] &=-\sqrt{2} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) \)\(\frac{1}{4}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\left(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)^2}{x-3}=\\[16pt] &=\frac{0}{-1}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}+\dfrac{3x}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}}+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=\\[16pt] &=\frac{3}{\sqrt{1}}=3 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}\)\(-10\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x^2-1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x-1)(x+1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}(x^2+4)(x-1)=\\[16pt] &=5\cdot (-2)=-10 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)2\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2} \)\(\frac{1}{2}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{(1-x)(1+x)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1+x}\cdot \lim_{x \to -1}\frac{1}{1-x}=\\[16pt] &=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} \)\(\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} =\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})}{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \end{split} \]

Strona oferująca bogatą pomoc w nauce matematyki. Na stronie znajdziesz opracowania zagadnień z wielu dziedzin matematyki

Ile kalorii muszę jeść?Co powinniśmy wiedzieć o makroskładnikach?Dlaczego warto liczyć kalorieJak zacząć liczyć kalorieJaki z tego morał? Liczenie kalorii to jedna z rzeczy, która dzieli społeczeństwo na dwa obozy. Dla jednych jest to jedyna i słuszna metoda, inni dostają gęsiej skórki na samą myśl o tym, że ich ulubiony hamburger miałby stać się „zwykłą cyfrą”, a na dodatek musieliby zapisywać jej wartości w jakimś dzienniczku. Niezależnie od tego, czy jesteś zwolennikiem czy przeciwnikiem liczenia kalorii, nie możesz zaprzeczyć, że jest to bardzo skuteczna metoda kontrolowania ilości spożywanych pokarmów ułatwiająca osiągnięcie wymarzonej sylwetki lub po prostu nauczenie się, ile naprawdę musisz jeść. Jeśli zastanawiasz się nad rozpoczęciem liczenia kalorii, mamy dla Ciebie kilka wskazówek, które znacznie ułatwią Ci cały proces. Ile kalorii muszę jeść? Zanim zaczniesz liczyć kalorie z pożywienia, musisz dowiedzieć się, ile kalorii i makroskładników faktycznie musisz zjeść, aby osiągnąć swój cel. Pomoże Ci w tym artykuł Jak obliczyć spożycie energii i makroskładników w celu utraty wagi lub przyrostu masy mięśniowej? Jeszcze łatwiejszą opcją jest wprowadzenie swojej wagi, wzrostu i innych szczegółowych danych do naszego kalkulatora, który obliczy Twoje spożycie zgodnie z wyznaczonym celem. Ile energii i makroskładników potrzebujesz? Wyjaśnienie: Podnoszenie ciężarów na siłowni, trening obwodowy na siłowni, crossfit, trening siłowy, street workout Hokej, piłka nożna, siatkówka, koszykówka, unihokej, futsal, tenis, squash, tenis stołowy TRX, trening obwodowy, pompa ciała, aerobik i inne zajęcia prowadzone przez instruktora Bieganie, pływanie, jazda na rowerze, wioślarstwo Wyjaśnienie: Uprawiam sporty siłowe Podnoszenie ciężarów na siłowni, trening obwodowy na siłowni, crossfit, trening siłowy, street workout Uprawiam sporty zespołowe. Hokej, piłka nożna, siatkówka, koszykówka, unihokej, futsal, tenis, squash, tenis stołowy Prowadzę wymagające szkolenia grupowe TRX, trening obwodowy, body pump, aerobik i inne zajęcia prowadzone przez instruktora Uprawiam sport wytrzymałościowy. Bieganie, pływanie, jazda na rowerze, wioślarstwo Co powinniśmy wiedzieć o makroskładnikach? Aby móc lepiej pracować z żywnością i jej wartością kaloryczną, konieczne jest posiadanie przynajmniej podstawowej wiedzy na temat poszczególnych makroskładników. 1. Białko Białko jest makroskładnikiem, który wspomaga zdrowie kości, wzrost mięśni, chroni mięśnie w diecie przed ich spalaniem, a także może pomóc odzyskać kontrolę nad apetytem na słodycze. Jednak są one również ważne dla układu odpornościowego, ponieważ stanowią budulec dla jego komórek. Wartość energetyczna 1 g białka wynosi 4 kcal. [1–4] Źródła białka: mięso, ryby, jajatwarogi, jogurty, sery i inne produkty mlecznewegańskie zamienniki mięsa (tofu, tempeh, seitan)pseudozboża (gryka, amarantus, komosa ryżowa)rośliny strączkowe (soczewica, fasola)orzechy i nasionabiałka (serwatkowe, roślinne)batony proteinowe, ciastka proteinowe, itp. Możesz dowiedzieć się więcej o źródłach białka w artykule 20 rodzajów żywności, które mogą łatwo uzupełnić Twoją dietę w białko. 2. Węglowodany Węglowodany są ważne w naszym organizmie głównie dlatego, że służą jako preferowane źródło energii. Wartość energetyczna 1 g węglowodanów wynosi 4 kcal. [1] [2] [5] Źródła węglowodanów: pełnoziarniste produkty zbożowe (płatki owsiane i orkiszowe, mąka, ryż, makaron, pieczywo)pseudozboża (gryka, amarantus, komosa ryżowa)ziemniaki zwykłe i słodkierośliny strączkowe (soczewica, ciecierzyca, fasola)owoce i warzywa 3. Tłuszcze Nawet tłuszcze służą w naszym organizmie jako źródło energii. Są one ważną częścią komórek i biorą udział w produkcji różnych hormonów w naszym organizmie. Jednocześnie chronią również nasze organy. Wartość energetyczna 1 g tłuszczu wynosi 9 kcal. [6] Źródła tłuszczów: orzechy, nasiona i masło orzechowemasło, ghee i oleje (słonecznikowy, oliwa z oliwek, z pestek dyni)oliwkiawokadotłuszcz, który jest naturalnym składnikiem białka zwierzęcego (na przykład, tłuszcz w wołowinie) 4. Błonnik Oprócz wyżej wymienionych makroskładników, powinniśmy zainteresować się również spożyciem błonnika w naszej diecie, ponieważ pełni on wiele ważnych funkcji w organizmie. Błonnik nierozpuszczalny nie ulega rozkładowi i może nam pomóc, na przykład przy problemach trawiennych. Z drugiej strony, błonnik rozpuszczalny może pęcznieć w organizmie, powodując uczucie sytości, co jest szczególnie przydatne podczas odchudzania. W porównaniu do innych makroskładników, zawiera tylko 2 kcal na gram. [7] Źródła błonnika: owocewarzywarośliny strączkowezboża i produkty pełnoziarniste Te produkty mogą Cię zainteresować: Dlaczego warto liczyć kalorie Chociaż początkowo liczenie kalorii może wydawać się tak trudne jak fizyka kwantowa, zobaczysz, że z czasem stanie się to dla Ciebie łatwiejsze, aż w końcu okaże się, że zajmuje tylko kilka minut każdego dnia. Jasne, rozpocząć jest zawsze trudno, ale może fakt, że istnieje całkiem sporo pozytywnych korzyści z tym związanych, pomoże Ci zacząć. 1. Lepiej zrozumiesz swoje jedzenie Czekolada zawsze będzie czekoladą, ale czy wiesz, że nie musisz postrzegać jej tylko jako grzesznego przysmaku, ale także jako doskonałe źródło zdrowych tłuszczów pochodzących z wysokiej jakości kakao? Jeśli nauczysz się patrzeć na jedzenie nie tylko jak na produkt końcowy, ale także dostrzegać jego poszczególne składniki, będziesz w stanie lepiej dostarczać organizmowi niezbędnych składników odżywczych i wyeliminować to, co mu nie służy. 2. Przezwyciężysz strach przed niektórymi pokarmami Czy żyjesz w świecie, w którym za każdym razem, gdy jesz posiłek typu fast food, przybywa Ci kilogramów? Kiedy nauczysz się pracować z kaloriami, przekonasz się, że cheeseburger typu fast food nie jest potrawą, która sprawi, że natychmiast przytyjesz. To tylko około 300 dodatkowych kcal w Twoim dziennym spożyciu kalorii. A jeśli odliczysz te 300 kcal z innego dziennego posiłku, możesz nawet pozostać w deficycie kalorycznym i schudnąć. Nie oznacza to jednak, że hamburger typu fast food powinien stać się codziennym elementem Twojej diety, ponieważ zależy to również od jakości jedzenia. Jeśli jednak zjesz go raz na jakiś czas, to nic się nie stanie. 3. Będziesz w stanie wybrać odpowiednie jedzenie Masz zaplanowany biznesowy lunch, ale nawet wtedy chcesz, aby Twoje jedzenie w restauracji nie wystrzeliło w kosmos Twojego dziennego spożycia kalorii? Wtedy jest to sytuacja, w której Twoje staranne codzienne liczenie kalorii okaże się przydatne. Nie musisz kończyć na sałatce tylko dlatego, że jest ona powszechnie uważana za „dietetyczną”. Możesz być zdziwić, jak wiele kalorii może być ukrytych w sosie sałatkowym. Zamiast tego wybierz kompletny posiłek który dostarczy organizmowi wysokiej jakości białka, węglowodanów i tłuszczów. Licząc kalorie, będziesz znać ich źródła, dzięki czemu będziesz mógł podjąć właściwą decyzję. Co powiesz na wybór łososia, ziemniaków i warzyw? 4. Zrozumiesz swoje wahania energii Na wczorajszym treningu wszystko poszło świetnie, ale dziś czujesz się jakby przejechała Cię ciężarówka? Czasami nawet lżejsza hantla może sprawić, że się spocisz. Spróbuj spojrzeć na swój zapisany dziennik żywności i zastanów się, czy winne jest temu jedzenie. Może większe spożycie węglowodanów, które dostarczyło Ci energii, mogło być powodem dobrego treningu? W ten sam sposób, dzięki zapisowi kalorii i konkretnych makroskładników, możesz zaobserwować, które posiłki sprawiają, że czujesz się dobrze a kiedy z kolei jesteś gotowy położyć się w łóżku i uciąć sobie drzemkę. Dzięki tym informacjom możesz potem lepiej pracować, a tym samym poprawić swoje wyniki nie tylko na siłowni, ale także podczas ważnych zadań w pracy czy egzaminów w szkole. 5. Będziesz żyć zdrowiej Wiele osób chciałoby jeść „lepiej”, aby być zdrowszym i czuć się świetnie, ale jakoś nie wiedzą od czego zacząć. Liczenie kalorii może być świetnym sposobem na znalezienie bardziej i mniej odpowiednich produktów spożywczych, zrozumienie ich składu i dowiedzenie się, co jeść, aby wspierać zdrowie układu sercowo-naczyniowego i zmniejszyć, na przykład ryzyko cukrzycy czy innych chorób cywilizacyjnych. Wszystko to, oczywiście, pod warunkiem, że nasza dieta jest zbilansowana. Wiemy też, że niestrawność może być związana na przykład ze spożyciem błonnika, więc nie trzeba od razu zaczynać łykać tabletek. Na przykład, czasami wystarczy skupić się na tym, aby w diecie znalazła się odpowiednia ilość warzyw i owoców. 6. Łatwiej będzie Ci utrzymać efekty Jeśli uda Ci się schudnąć dzięki liczeniu kalorii i osiągnąć wymarzone ciało, to świetnie. Nawet lepiej, będzie Ci o wiele łatwiej utrzymać osiągnięte rezultaty. Nie chodzi tu o liczenie kalorii przez całe życie. Jednak próbując tego przez jakiś czas, z pewnością poznasz przybliżoną wielkość swojej optymalnej porcji, a także jej odpowiedni skład. Dzięki temu w przyszłości będzie Ci łatwiej oszacować swoje porcje i utrzymać wagę. Dlatego właśnie liczenie kalorii znacznie różni się od „szytych na miarę” planów dietetycznych, które możesz dostać. Z nimi uda Ci się schudnąć, ale jeśli specjalista nie nauczy Cię, jak pracować z jedzeniem, jest bardzo prawdopodobne, że odzyskasz utracone kilogramy, kiedy wrócisz do starych nawyków żywieniowych. Teraz, gdy wiemy już, ile kalorii i makroskładników powinniśmy przyjmować, mamy ogólny zarys tego, czym są białka, węglowodany i tłuszcze, a także znamy korzyści płynące z liczenia kalorii, możemy wreszcie przejść do rzeczy. 1. Pobierz aplikacje, które ułatwiają ten proces W dzisiejszych czasach istnieje wiele aplikacji mobilnych, które mogą uprościć nasze życie, a nawet proces liczenia kalorii. Na samym początku aplikacja MyFitnessPal, na przykład, może być dla Ciebie wielkim pomocnikiem. W tej aplikacji wystarczy wprowadzić dane wejściowe lub możesz je obliczyć bezpośrednio przez aplikację, a następnie rozpocząć prowadzenie dziennika. Aby zapobiec konieczności szukania konkretnych produktów, wystarczy, że zeskanujesz kod kreskowy na dowolnej pakowanej żywności, a aplikacja znajdzie je dla Ciebie. Jednak inne aplikacje również mogą okazać się bardzo pomocne, jak na przykład MyNetDiary, która również służy do zapisywania spożywanych pokarmów. Ponadto zawiera setki zdrowych przepisów, z których możesz czerpać inspirację, jeśli zdecydujesz się zmienić swoje nawyki żywieniowe. A jeśli udało Ci się już osiągnąć poziom biegłości w liczeniu kalorii i chcesz dowiedzieć się jeszcze więcej o jedzeniu, aplikacja Nutrients – Nutrition Facts może Ci pomóc. Zawiera ona dziesiątki tysięcy produktów spożywczych, a także, na przykład, ich szczegółową zawartość witamin i minerałów. Informacje te możesz również znaleźć na stronie internetowej Departamentu Rolnictwa USA. 2. Waż porcje najczęściej spożywanych produktów Waga kuchenna to świetna rzecz, ale co zrobisz, jeśli baterie padną? Czy wszystkie wysiłki, żeby schudnąć, zostaną stracone? Aby nauczyć się lepiej oceniać swoje jedzenie, stwórz tabelę swoich ulubionych składników i zważ to, co znalazło się w kubku, łyżce lub miarce. Kolejnym razem podczas gotowania, nie musisz ponownie wyciągać wagi. Wystarczy, że zapamiętasz, ile dany surowiec zwykle zajmuje pojemności w Twoim kubku. Możesz też wyznaczyć na nim granice dla poszczególnych składników lub zainspirować się naszymi tabelami, które zawierają kilka produktów spożywczych ważonych w stanie surowym (podane wartości mogą się różnić w zależności od określonego rodzaju produktu). [8] Ile kalorii mają źródła węglowodanów? 100 g surowego składnikaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszcze1 szklanka 250 mlMakaron3577312,52110 g makaronuSoczewica28666231,5210 g soczewicyPłatki owsiane37567,512,56160 g płatków owsianychRyż356806,50210 g ryżu Należy pamiętać, że surowce zmieniają swoją objętość po ugotowaniu. To, jak bardzo zmieni się waga, zależy również od czasu gotowania. Jednak w niektórych przypadkach może ona wzrosnąć nawet o 100-200%. Jeśli więc martwisz się, że jedna szklanka soczewicy ma 632 kcal, pamiętaj, że po ugotowaniu będziesz mieć aż 600 g soczewicy, co zdecydowanie nie jest małą ilością. Podobną tabelę można stworzyć nawet dla pomiaru źródeł tłuszczu. Ile kalorii mają źródła tłuszczu? 1 łyżeczkaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszczeMasło orzechowe (15 g)96348Oliwa z oliwek (5 ml)41005Olej kokosowy (5 ml)44005Masło 5 g37004 Dla niektórych osób źródło białka, takie jak mięso, może być najtrudniejsze do oszacowania. W takim przypadku najłatwiejszym sposobem jest zważenie go zaraz po zakupie, a następnie zamrożenie, np. w porcjach po 100 g. Jeśli kupisz opakowanie piersi z kurczaka, które waży 400 g i zawiera dwa kawałki mięsa, po prostu spróbuj zrobić 4 kawałki mniej więcej tej samej wielkości. Z tofu, seitan i podobnymi substytutami łatwiej jest dokładnie oszacować ilość ze względu na ich regularny kształt. A jeśli znajdziesz się w sytuacji, w której jedzenie zaserwuje Ci ktoś inny i nie będziesz mieć kontroli nad wagą, możesz spróbować wyobrazić sobie że białka powinny zajmować około ¼ talerza. Ile kalorii mają wybrane źródła białka? 100 g surowego składnikaKcalWęglowodanyBiałkaTłuszczePierś kurczaka1100231Okrągły stek wołowy1722209Polędwica wieprzowa1430214Tofu wędzone1391178 Przy tworzeniu tabel podobnych do tych powyżej, zalecamy nie kierować się ilością znalezioną w Internecie, ale stworzyć ją samemu. Jedna szklanka różni się od drugiej. Podobnie łyżeczka masła orzechowego może mieć wiele rozmiarów, a tym samym różnić się o dziesiątki kalorii. Kiedy sami będziemy mierzyć wagę poszczególnych składników, w końcu nauczymy się idealnie i pewnie szacować ich ilość. 3. Zapisz swoje ulubione przepisy Jeśli każdego dnia masz na talerzu zupełnie inny posiłek, to dobrze dla Ciebie, możesz mieć pewność, że nic Ci się nie znudzi. Duża część społeczeństwa ma jednak swoje ulubione potrawy, które regularnie podmienia w ciągu miesiąca. Jeśli i Ty jesteś jednym z nich, mamy dla Ciebie radę, jak ułatwić sobie „dziennikarstwo” – zapisz swoje przepisy. W aplikacjach do liczenia kalorii zazwyczaj istnieje możliwość stworzenia własnego posiłku. Więc następnym razem, gdy będziesz przyrządzać tę potrawę ponownie, nie musisz klikać na wszystkie składniki. Wszystko, co musisz zrobić, to wybrać „swój” przepis, dostosować wagi poszczególnych składników i to wszystko. Na przykład, możesz zwiększyć ilość warzyw w razie potrzeby zamiast odżywki węglowodanowej. Ewentualnie, dodaj więcej masła orzechowego, gdy potrzebujesz uzupełnić tłuszcze. Funkcja ta jest również bardzo praktyczna, na przykład podczas pieczenia, ponieważ pozwala na zapisanie tylko określonej części gotowego przysmaku. Jeśli pieczesz deser wielkości patelni, nie ma konieczności odcinania kawałka, ważenia go, a następnie proporcjonalnego wyliczania, ile poszczególnych składników znajduje się w tym jednym kawałku. Aplikacja zrobi to za Ciebie. Podobnie możesz skorzystać z tej funkcji, nawet jeśli gotujesz dla większej liczby osób. Ponownie, możesz zważyć tylko swoją porcję, a aplikacja obliczy proporcje poszczególnych składników. 4. Planuj z wyprzedzeniem Osobom, które nie są jeszcze w pełni zorientowane w liczeniu kalorii, możemy polecić jedno – planowanie. Przygotowanie jest kluczem do sukcesu. Szczególnie podczas tego procesu. Jestem przekonana, że nikt nie chce spisywać tego, co już zjadł po obiedzie i stwierdzić, że zostało mu tylko 200 kcal na resztę dnia. Jednak może się to łatwo przytrafić każdemu, kto nie ma pojęcia, jaka ilość kalorii może kryć się w jego ulubionych potrawach. W pierwszych tygodniach najlepiej będzie, jeśli dzień wcześniej zaplanujesz i zapiszesz co najmniej 3 główne posiłki. Dzięki temu nie tylko równomiernie rozplanujesz posiłki w ciągu dnia, ale również zaoszczędzisz czas podczas gotowania. Po kilku tygodniach, kiedy lepiej poznasz swoje jedzenie, możesz zapisywać posiłki w aplikacjach w ciągu dnia, zamiast robić wszystko z wyprzedzeniem. Będziesz w stanie oszacować, ile kalorii i makroskładników ma dana potrawa i odpowiednio zaplanować wielkość porcji, aby nie skończyło się to wykorzystaniem wszystkich kalorii w pierwszej połowie dnia. 5. Nie patrz tylko na kalorie Oczywiście, kalorie są ważne i ich spożycie decyduje o tym, czy schudniesz, utrzymasz wagę czy przytyjesz. Jednak nie jest to jedyny wskaźnik, na który powinniśmy zwracać uwagę. Nawet w tym procesie nie powinniśmy zapominać o spożywaniu odpowiedniej ilości owoców (200 g), warzyw (400 g) oraz o harmonogramie picia. Powinniśmy pić co najmniej 30-45 ml na kilogram masy ciała każdego dnia. W rzeczywistości oznacza to, że ważąca 60 kg kobieta (132 lbs) powinna wypijać około 1,8-2,7 l, a 80-kilogramowy mężczyzna (176 lbs) – 2,4-3,6 l. 6. Czytaj etykiety Liczenie kalorii pozwala Ci czasem uwzględnić mniej odpowiednią żywność w dziennym spożyciu przy jednoczesnym utrzymaniu lub utracie wagi. Nie zmienia to jednak faktu, że w większości przypadków należy starać się wybierać pokarmy jak najmniej przetworzone, które dostarczą organizmowi wystarczającej ilości mikroelementów i niezbędnych substancji. Czytanie etykiet pomoże Ci podjąć właściwą decyzję. Jeśli zobaczysz produkt, którego połowę opakowania zajmują składniki, o których nigdy nie słyszałeś, lepiej odłóż go z powrotem na półkę. A może spróbuj zastosować się do 80:20, zgodnie z którą 80% tego, co jesz, składa się z wysokiej jakości żywności, a pozostałe 20% z mniej odpowiedniej żywności, ale sprawiającej przyjemność Twojej duszy i zaspokajającej Twoje pragnienia. Więcej informacji na temat działania tej zasady znajdziesz w artykule Jak jeść pizzę i słodycze, a mimo to schudnąć z IIFYM? 7. Kiedy popełnisz błąd, nie wpadaj w panikę Nikt nie jest idealny i najprawdopodobniej będziesz popełniać błędy na początku. Czasami możesz nawet nieświadomie przekroczyć zalecane spożycie o setki kalorii (na przykład, jeśli pomieszasz wartości surowych i gotowanych składników). Nie zadręczaj się tym. Nawet 500 kcal nadwyżki nie jest czymś, czego nie naprawiłaby godzina biegania. Liczenie kalorii to proces, w którym zawsze będziesz się czegoś uczyć. Zobaczysz, że z czasem nabierzesz wprawy i dokładności, aż w końcu dojdziesz do wniosku, że nawet nie będziesz potrzebować wagi i nauczysz się samodzielnie wszystko szacować. Jaki z tego morał? Liczenie kalorii zdecydowanie nie jest dla każdego, co jest w porządku. Jeśli jednak ruszysz w tę podróż, nauczysz się lepiej rozumieć jedzenie, będziesz wiedzieć, jak dokonywać właściwych wyborów, przestaniesz bać się pewnych pokarmów, a także będziesz w stanie żyć zdrowiej i zachować swoją sylwetkę. Od początku jednak musisz uzbroić się w cierpliwość i zaakceptować tę nową czynność jako proces, w którym stale się doskonalisz. Zobaczysz, że z czasem liczenie kalorii stanie się dla Ciebie coraz łatwiejsze i stopniowo dojdziesz do etapu, w którym nie będziesz już nawet potrzebować wagi. Dla przeciętnej osoby, liczenie kalorii nie jest na pewno czymś, co mogłaby robić przez całe życie. To narzędzie będzie pomocne szczególnie na początku, zanim nauczysz się pracować z jedzeniem. A jaki jest Twój styl – liczysz kalorie, czy może planujesz zacząć? Podziel się z nami swoimi doświadczeniami w komentarzach i nie zapomnij udostępnić tego artykułu swoim znajomym. Może pomoże im on uprościć cały proces i osiągnąć swoje cele. Źródła:[1] Thermic Effect of Food – [2] James Hill, Wyatt, H. R., & Peters, J. C. – The Importance of Energy Balance – [3] Commission Regulation (EU) No 432/2012 of 16 May 2012 establishing a list of permitted health claims made on foods, other than those referring to the reduction of disease risk and to children’s development and health – [4] Margriet S. Westerterp-Plantenga a kol. – Dietary protein – its role in satiety, energetics, weight loss and health – [5] M Elia, P Folmer, A Schlatmann, A Goren, S Austin – Carbohydrate, fat, and protein metabolism in muscle and in the whole body after mixed meal ingestion – [6] Know More about Fat – [7] Mohammed S. Razzaque – The Role of Fiber in Energy Balance – [8] FoodData Central –

W kontekście rozpatrywanego problemu należy wskazać, że przywróceniu podlegają wyłącznie terminy formalne. Natomiast wskazany w art. 4a ustawy SD sześciomiesięczny termin na złożenie zgłoszenia SD-Z2 ma charakter materialny, co oznacza, że nie może on zostać w żadnych okolicznościach przywrócony czy ponownie wyznaczony.

Spis treści1. Co to jest ciąg liczbowy?2. Ciągi ograniczone3. Ciągi monotoniczne4. Ciąg arytmetyczny5. Ciąg geometryczny6. Granice Granice właściwe i niewłaściwe - definicje7. Jak liczyć granice właściwe ciągów? Granice ciągów - podstawowe Twierdzenie o trzech Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zera8. Twierdzenie o dwóch ciągach9. Symbole Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?11. Jak liczyć granice ciągów w kalkulatorze Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. Co to jest ciąg liczbowy?Ciągi liczbowe najczęściej oznacza się symbolami:\[(a_n),\,\,\,(b_n),\,\,\,(c_n),\,\,\,\textrm{itd.}\] Oto kilka przykładów:Ciąg \(a_n\) jest skończony, ponieważ zawiera tylko pięć wyrazów (liczb):\[(a_n)=(1,\,2,\,3,\,4,\,5)\]Ciąg \(b_n\) zawiera tylko dwie liczby:\[(b_n)=(\sin(1),\,\sin(3))\]Ciągi \(c_n\) i \(d_n\) są nieskończone, ponieważ zawierają nieskończenie wiele liczb (oznaczamy to trzema kropkami na końcu ...):\[(c_n)=\left(-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},\,-\frac{1}{4},\,\frac{1}{4},...\right)\]\[(d_n)=\big(-2\sqrt{2},\,-4\sqrt{2},\,-8\sqrt{2},...\big)\]Więcej przykładów ciągów znajdziesz w internetowej encyklopedii ciągów liczbowych (spróbuj wpisać kilka liczb po przecinku, kliknij "Search" i zobacz czy Twój ciąg został już przez kogoś "wynaleziony" ;-)Ciąg liczbowy to funkcja odwzorowująca zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych, a tak po ludzku to poprostu ponumerowany zbiór elementów (liczb).Wyrazy ciągu liczbowego (czyli jego elementy) oznaczamy przez:\[a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,...\]\[b_1,\,b_2,\,b_3,\,b_4,...\]Dla przykładu pierwszy wyraz ciągu \((a_n)=(1,2,3,4,5,...)\), to \(a_1=1\), piąty wyraz to \(a_5=5\), setny wyraz to \(a_{100}=100\).Ciągi liczbowe można określać na różne sposoby:1. za pomocą wzoru, (tzw. wzór ogólny ciągu) - podaje się jeden ogólny przepis na każdy z wyrazów ciągu: Przykład 1\[a_n=n\,-\,\textrm{wzór ciągu}\]Wzór ciągu stanowi przepis jak tworzyć kolejne wyrazy, zobacz sam (bierzemy \(n=1,2\) i \(n=100\)):\[a_1=1,\,\,\,a_2=2,\,...,\,a_{100}=100\]Przykład 2\[b_n=\sin(2n-1)\,-\,\textrm{wzór}\]Chcąc zapisać jakiś wyraz ciągu musimy zastąpić indeks \(n\) konkretną liczbą:\[b_1=\sin(1),\,\,\,b_2=\sin(3),\,\,\,b_3=\sin(5),\,\,\,b_4=\sin(7),\,...,\,b_{9}=\sin(2\cdot 9-1)=\sin(17)\]Przykład 3\[c_n=\frac{(-1)^n}{4}\,-\,\textrm{wzór}\]Ciąg może mieć wyrazy różniące się tylko znakiem (plus, minus):\[c_1=-\frac{1}{4},\,\,\,c_2=\frac{1}{4},\,\,\,c_3=-\frac{1}{4},\,\,\,c_4=\frac{1}{4},\,...,\,c_{31}=\frac{(-1)^{31}}{4}=-\frac{1}{4}\]Przykład 4\[d_n=-2^n\sqrt{2}\,-\,\textrm{wzór}\]Kilka wyrazów ciągu:\[d_1=-2\sqrt{2},\,\,\,d_2=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]2. rekurencyjnie - podaje się jeden lub kilka pierwszych wyrazów ciągu, a każdy następny wyraz można zapisać za pomocą poprzednich wyrazów Przykład 1Ciąg arytmetyczny\[a_1=2,\,\,\,a_{n+1}=a_n+1\]Pierwszy wyraz jest ustalony i wynosi 1. Każdy następny wyraz ciągu (zaczynając od drugiego) tworzymy przez dodanie liczby 1 do poprzedniego wyrazu:\[a_1=2,\,\,\,a_2=a_1+1=2+1=3,\,\,\,a_{3}=a_{2}+1=3+1=4\]Przykład 2Ciąg geometryczny:\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_{n+1}=2 b_n\]Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest podany (np. \(-2\sqrt{2}\)), każdy następny wyraz (począwszy od drugiego) tworzymy przez pomnożenie poprzedniego wyrazu przez jakąś liczbę (np. 2):\[b_1=-2\sqrt{2},\,\,\,b_2=2b_1=-4\sqrt{2},\,\,\,d_3=-8\sqrt{2},\,...,\,d_{10}=-2^{10}\sqrt{2}\]Przykład 3Ciąg Fibbonaciego:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_{n+2}=c_{n+1}+c_{n}\]Pierwsze dwa wyrazy są równe 1, każdy następny wyraz poczynając od trzeciego jest równy sumie dwóch poprzednich:\[c_1=1,\,\,\,c_2=1,\,\,\,c_3=c_2+c_1=1+1=2,\,\,\,c_{4}=c_3+c_2=2+1=3\]3. opisowo, poprzez podanie (słownie) własności jednoznacznie określającej ciąg: Przykład\[a_n\,-\,\textrm{n-ta liczba pierwsza}\]\[a_1=2,\,\,\,a_2=3,\,\,\,a_3=5,\,\,\,a_4=7,\,\,\,a_5=11,\,\,\,a_6=13,\,\,\,a_7=17\]4. wypisując wyrazy ciągu - sprawdza się szczególnie w przypadku ciągów skończonych: PrzykładyCiągi skończone:\[\left(1,1,1,1,1\right)\]\[\left(\pi,-2\pi,e,e^\pi,\pi^e\right)\]Ciągi nieskończone:\[\left(1,1,1,1,1,...\right)\]Przy takim opisie ciągu nieskończonego, musimy się domyślić jak wyglądają dalsze wyrazy powyższym przykładzie wszystkie wyrazy ciągu są równe 1.\[\left(1,-1,1,-1,1,-1,...\right)\]Wyrazy powyższego ciągu to na przemian 1 i Ciągi liczbowe, podobnie jak pochodne i granice funkcji, są jednym z podstawowych zagadnień analizy Ciągi ograniczoneCiąg liczbowy \((a_n)\) jest ograniczony z dołu, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\), czyli: \[\exists\, D\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\](istnieje liczba rzeczywista \(D\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge D\]PrzykładCiąg \(a_n=n\) jest ograniczony z dołu, ponieważ:\[a_n=n\ge 1=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=1,\,a_2=2,\,a_3=3,\,a_4=4,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 1 i ciągle się zwiększa, więc na pewno każdy jego wyraz jest większy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony z góry, gdy wszystkie jego wyrazy są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli: \[\exists\, G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieje liczba rzeczywista \(G\), taka, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\le G\]PrzykładCiąg \(a_n=1-n\) jest ograniczony z góry, ponieważ:\[a_n=1-n\le 0=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Aby to lepiej zrozumieć, wypiszmy kilka wyrazów tego ciągu:\[a_1=0,\,a_2=-1,\,a_3=-2,\,a_4=-3,...\]Widać, że ciąg "startuje" od liczby 0 i się zmniejsza, więc na pewno każdy jego wyraz jest mniejszy (bądź równy) od \((a_n)\) jest ograniczony, gdy wszystkie jego wyrazy są większe od pewnej liczby rzeczywistej \(D\) i jednocześnie mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej \(G\), czyli gdy jest jednocześnie ograniczony z dołu i z góry: \[\exists\, D,G\in\mathbb{R}\,\,\forall\, n\in\mathbb{N}\] (istnieją liczby rzeczywiste \(D\) i \(G\), takie, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzą nierówności)\[D\le a_n\le G\]PrzykładCzy ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony?Krok 1Warto wypisać sobie kilka wyrazów ciągu:\[a_1=\frac{1}{1}=1,\,\,a_2=\frac{1}{2},\,\,a_3=\frac{1}{3},\,\,\,a_4=\frac{1}{4}\]Krok 2Widać, że ciąg jest ograniczony z góry przez liczbę \(G=1\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}\le 1=G,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Krok 3Można też zauważyć, że wyrazy ciągu \(a_n\) są coraz mniejsze wraz ze wzrostem indeksu n, jednak są zawsze większe od \(D=0\), czyli:\[a_n=\frac{1}{n}> 0=D,\,\,\textrm{dla każdego}\,\,n\in\mathbb{N}\]Dlatego ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu przez \(D=0\).Ktok 4Ciąg \(a_n=\frac{1}{n}\) jest ograniczony z dołu i z góry, zatem jest Ciągi monotoniczneMonotoniczność ciągu oznacza, że ciąg jest stały lub rosnący lub niemalejący lub malejący lub liczbowy \((a_n)\) jest stały, gdy jego wyrazy pozostają takie same wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1=a_2=a_3=...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi równość) \[a_n=a_{n+1}\]Przykład\[a_n=1\,-\,\textrm{ciąg stały}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=1=a_{n+1}\]np. dla \(n=1\) mamy:\[a_1=1=a_{2}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest rosnący, gdy jego wyrazy zwiększają się wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1a_2>a_3>...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n> a_{n+1}\]Przykład\[a_n=\frac{1}{n}\,-\,\textrm{ciąg malejący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}\]np. dla \(n=3\) mamy:\[a_3=\frac{1}{3}>\frac{1}{4}=a_{4}\]Ciąg liczbowy \((a_n)\) jest nierosnący, gdy jego wyrazy zmniejszają się ub pozostają niezmienione (równe) wraz ze wzrostem wartości indeksu \(n\): \[a_1\ge a_2\ge a_3\ge ...\] czyli \[\forall\, n\in\mathbb{N}\] (dla każdej liczby naturalnej \(n\) zachodzi nierówność) \[a_n\ge a_{n+1}\]Przykład\[a_n=-n\,-\,\textrm{ciąg nierosnący}\]ponieważ dla każdego \(n\in \mathbb{N}\) mamy:\[a_n=-n\ge -(n+1)=a_{n+1}\]np. dla \(n=4\) mamy:\[a_4=-4\ge -5=a_{5}\]Istnieje też pojęcie monotoniczności w ścisłym sensie, co oznacza, że ciąg jest rosnący lub sprawdzić monotoniczność ciągu w praktyce?Monotoniczność ciągu \((a_n)\) możesz ustalić analizując znak różnicy\[a_{n+1}-a_n\]lub, gdy ciąg \(a_n\) ma wyrazy dodatnie badając relację między liczbą 1, a wyrażeniem\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\]Ciąg \((a_n)\) jest rosnący, gdy\[a_{n+1}-a_n>0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}>1\]Ciąg \((a_n)\) jest niemalejący, gdy\[a_{n+1}-a_n\ge 0\]lub gdy \(a_n>0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\]Ciąg \((a_n)\) jest malejący, gdy\[a_{n+1}-a_n0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}0\) dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) oraz\[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le 1\]PrzykładJak wykazać, że ciąg \(a_n=\frac{1}{n+1}\) jest malejący?Sposób ISprawdzamy jaki jest znak wyrażenia \(a_{n+1}-a_n\), tj.\[a_{n+1}-a_n=\frac{1}{(n+1)+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}-\frac{n+2}{(n+1)(n+2)}=\]\[=\frac{n+1-(n+2)}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1-n-2}{(n+1)(n+2)}=\frac{-1}{(n+1)(n+2)}0\)malejący, gdy \(r0\) i \(q>1\) lub \(a_11\) lub \(a_1>0\) \(00\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[|a_n-g|0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n>\epsilon\]Ciąg \((a_n)\) jest zbieżny do granicy niewłaściwej \(-\infty\), czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=-\infty\]wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\epsilon>0\) istnieje \(n_0\in\mathbb{R}\), takie, że dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) i \(n>n_0\):\[a_n0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n}=0\]Granica z silnią:\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{A^n}{n!}=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,\,A>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{n!}=0\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z n:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1\]Granica pierwiastka n-tego stopnia z liczby dodatniej:\[\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{A}=1,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>0\]Granice nieskończone:\[\lim\limits_{n\to\infty} n^p=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,p>0\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n=\infty\]\[\lim\limits_{n\to\infty} n^n=\infty\]Granice ciągu geometrycznego:\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=\infty,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,A>1\]\[\lim\limits_{n\to\infty} A^n=0,\,\,\,\textrm{dla}\,\,\,|A|n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n=\lim\limits_{n\to \infty}c_n=g\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=g\]Przykład:Wykarzemy, że granica ciągu \(\frac{\sin n}{n^2}\) jest równa 0, czyli:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Zauważmy, że dla wszystkich \(n\in \mathbb{N}\):\[\frac{-1}{n^2}\le \frac{\sin n}{n^2}\le \frac{1}{n^2}\]ponieważ \(\sin(n)\in[-1,1]\), ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{-1}{n^2}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}=0\]Zatem z Twierdzenia o 3 ciągch mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin n}{n^2}=0\]Poniżej znajdziesz przykłady ciągów występujących w graniacach, które można obliczyć przy użyciu twierdzenia o 3 ciągch:\[-1\le \sin n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-1\le \cos n\le 1,\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[-\frac{\pi}{2}\le arctg\, n\le \frac{\pi}{2},\,\,\,n\in\mathbb{N}\]\[0\le arcctg\, n\le \pi,\,\,\,n\in\mathbb{N}\] Granica iloczynu ciągu ograniczonego i ciągu zbieżnego do zeraZ twierdzenia o trzech ciągach wynika następujący przydatny fakt:Jeżeli ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, a ciąg \((b_n)\) jest zbieżny do zera, czyli\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=0\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n b_n=0\]Powyższe twierdzenie można udowodnić następująco. Zauważmy, że, gdy ciąg \((a_n)\) jest ograniczony, to istnieją stałe \(D\) i \(G\), takie, że:\[D\le |a_n| \le G\]Stąd\[D|b_n|\le |a_n\cdot b_n|\le G|b_n|\]Obliczmy teraz granice ciągów ograniczających:\[\lim\limits_{n\to \infty} D|b_n|=D\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]\[\lim\limits_{n\to \infty} G|b_n|=G\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\]ponieważ \(\lim\limits_{n\to \infty} |b_n|=0\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\lim\limits_{n\to \infty} b_n=0\).Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} |a_n b_n|=0\]co jest równoważne z faktem, że:\[\lim\limits_{n\to \infty} a_n b_n=0\]8. Twierdzenie o dwóch ciągachPrzy liczeniu granic niewłaściwych, w których występują ciągi ograniczone z dołu (lub z góry) przez inne ciągi oraz ciągi, których granice nie istnieją, przydatne jest czasami twierdzenie o 2 ciągch:Jeżeli ciągi \((a_n)\) i \((b_n)\) spełniają warunki:\[a_n\le b_n,\,\,\,dla\,\,\,n>n_0\]oraz\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty\]to\[\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\infty\]UWAGA: Prawdziwe jest też analogiczne twierdzenie dla granicy niewłaściwej ciągu równej \(-\infty\).PrzykładKorzystając z twierdzenia o dwóch ciągch uzasadnimy, że:\[\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\]Następująca nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\):\[-1+e^n\le \sin n+e^n\]ponieważ \(\sin n\ge -1\) dla wszystkich \(n\in\mathbb{N}\).Mamy:\[\lim\limits_{n\to \infty}(-1+e^n)=\infty\]Zatem z twierdzenia o dwóch ciągch \(\lim\limits_{n\to \infty}(\sin n+e^n)=\infty\).9. Symbole nieoznaczonelub wyrażenia nieoznaczone, to wyrażenia umowne, które stosuje się przy liczeniu granic ciągu, np. gdy licznik i mianownik zbiegają do zera, tak jak w granicy:\[\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\left[\frac{0}{0}\right]\]Oto pełna lista 7 symboli nieoznaczonych:\[\left[\frac{0}{0}\right],\,\,\,\left[\frac{\infty}{\infty}\right],\,\,\,[\infty-\infty],\,\,\,[0\cdot \infty],\,\,\,\left[1^{\infty}\right],\,\,\,\left[\infty^{0}\right],\,\,\,\left[0^{0}\right]\]Zapamiętaj, że wyrażenia nieoznaczone nie mają znaczenia liczbowego, bo np, nie można dzielić przez 0, a nieskończoność \(\infty\) to nie liczba tylko obiekt tych wyrażeń są różne w przypadku różnych Z symbolami nieoznaczonymi trzeba bardzo uważać. Zwykle:\[\left[\frac{0}{0}\right]\neq 1\]\[\left[\frac{\infty}{\infty}\right]\neq 1\]\[[\infty-\infty]\neq 0\]\[[0\cdot \infty]\neq 0\]\[\big[1^{\infty}\big]\neq 1\]\[\big[\infty^0\big]\neq 1\]\[\big[0^0\big]\neq 1\]Nie możesz stosować tu żadnych regułek wyuczonych na pamięć (każdy z tych symoli może dać różne wyniki)!Jeszcze jedno, symbolami nieoznaczonymi nie są wyrażenia typu:\[\left[\frac{A}{\infty}\right],\,\,\textrm{dla}\,A\in\mathbb{R},\,\,\,[\infty+\infty],\,\,\,[\infty\cdot \infty],\,\,\,\left[\infty^{\infty}\right]\]Wyniki takich granic możesz bez problemu obliczyć (są zawsze takie same):\[\left[\frac{A}{\infty}\right]=0\]\[[\infty+\infty]=\infty\]\[[\infty\cdot \infty]=\infty\]\[\left[\infty^{\infty}\right]=\infty\] Jak pozbyć się symboli nieoznaczonych?Bardzo często wystarczy wykonać proste przekształcenie, dzięki któremu można łatwo pozbyć się symbolu nieoznaczonego z granicy ciągu:1. Spróbuj wyciągnąć \(n\) do najwyższej potęgi przed nawias (jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to wyciągnij najwyższą potęgę w liczniku i mianowniku i skróć co się da).2. Jeśli liczysz granicę z ilorazu ciągów, to zastosuj rozkład na czynniki lub zastosuj wzór skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku, następnie skróć co się wynosi granica ciągu \(\frac{n^2-1}{n-1}\)?Sposób IWyciągniemy n do najwyższej potęgi z licznika i mianownika. W tym przypadku najwyższa potęga to 2, więc wyciągniemy \(n^2\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1-\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\left[\frac{1}{0^+}\right]=+\infty\]Sposób IIUżyjemy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{n^2-1}{n-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right]=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{(n-1)(n+1)}{n-1}=\lim\limits_{n\to \infty}(n+1)=+\infty\]10. Jak liczyć granice niewłaściwe ciągów?1. Granica z wyrażenia: liczba + "nieskończoność" = "nieskończoność"\[\color{red}{g+\infty=\infty+g=\infty},\,\,\,gdy\,\,\,-\inftyinfInne przykłady:Granicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{n^2+1}{\sin(n)+2n}\)wpiszesz za pomocą polecenialim (n^2+1)/(sinn+2n) as n->infGranicę ciągu\(\lim\limits_{n\to \infty}\frac{\ln n}{n+1}\)wpiszesz za pomocą polecenialim lnn/(n+1) as n->inf12. Sprawdź swoją wiedzę o ciągach liczbowych - zadania kontrolne1. O ciągu \(a_n\) wiadomo, że\[3\le a_n \le 4,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]Czy ciąg \(a_n\) jest ograniczony z dołu, z góry, a może jest ograniczony?Z definicji ograniczoności ciągu liczbowego wynika, że ciąg \(a_n\) jest:(a) ograniczony z dołu, ponieważ istnieje liczba \(D=3\), taka, że:\[a_n \ge 3=D,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](a) ograniczony z góry, ponieważ istnieje liczba \(G=4\), taka, że:\[a_n \le 4=G,\,\,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\](c) ograniczony, ponieważ jest ograniczony z dołu i z Ciąg \(a_n\) jest utworzony przez liczby nieparzyste. Czy ten ciąg jest monotoniczny?Zacznijmy od wypisania kilku wyrazów ciągu \(a_n\):\[a_1=1,\,\,a_2=3,\,\,a_3=5,\,\,a_4=7,\,\,a_5=9,...\]Na pierwszy rzut oka wygląda na to, że ciąg \(a_n\) stale rośnie... Aby to wykazać, spróbujmy zapisać wzór opisujący wyrazy ciągu liczb nieparzystych (szukamy zeleżności między wypisanymi powyżej wyrazami ciągu). Ten wzór to (sprawdź!):\[a_n=2n-1\]Zauważmy teraz, że:\[a_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1>2n-1=a_n,\,\textrm{dla każdego}\,n\in\mathbb{N}\]co potwierdza nasze wcześniejsze domysły, że ciąg liczb naturalnych, nieparzystych jest ściśle rosnący (a więc monotoniczny).3. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}\]Skorzystamy z własności potęg (ze wzorów \(\left(\frac{a}{b}\right)^c=\frac{a^c}{b^c}\) oraz \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\)), z własności granic ciągów (granica ilorazu jest ilorazem granic) oraz z podstawowego wzoru na granicę ciągu \(\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{n}=1\):\[\lim\limits_{n\to \infty} \left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}}=\frac{1}{1}=1\]4. Oblicz granicę ciągu\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}\]Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Zauważmy, że:\[\frac{-1}{n}\le \frac{(-1)^n}{n}\le \frac{1}{n}\]ponieważ \(-1\le (-1)^n\le 1\) (przyjmuje na przemian wartości 1 i -1). Ponadto:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{-1}{n}=\lim\limits_{n\to \infty} \frac{1}{n}=0\]Zatem na mocy twierdzenia o 3 ciągach:\[\lim\limits_{n\to \infty} \frac{(-1)^n}{n}=0\]Zrób kolejny krok i ucz się granic ciągów na przykładach

W przypadku oficerów zarobki zaczynają się od 205 zł dla podporucznika i rosną do 615 zł dla generała. Zarobki w korpusie oficerów w WOT: Dodatkowo, w każdym miesiącu, jeśli żołnierz WOT wysłuży przynajmniej 2 dni, nabywa prawo do dodatku za gotowość bojową. Żołnierz WOT może otrzymać go nie więcej niż raz w miesiącu.

Zajmijmy się licznikiem. Dla n=1 mamy 1-2 = -1, dla n=2 mamy 1-2 + 3-4 = -2. Dla n=3 mamy -2 + 5 - 6 = -3 i tak dalej. Ogólnie dla n wynikiem jest -n. Licznik możemy inaczej zapisać jako szereg o wyrazie ogólnym (2n-1)-2n. W takim razie jest on równoważny zapisowi (1-2)+(3-4)+...+((2n-1)-2n). Jak widać w każdym nawiasie będziemy mieć -1, więc suma n wyrazów tego szeregu wynosi wzór ogólny upraszcza się do -n/(n+4), więc granica wynosi -1.

Granice ciągów, zadanie 3. Oblicz granicę ciągu liczbowego - rozwiązanie krok po kroku. Zobacz również inne zadania z granic ciągów, całek i pochodnych oraz szeregów liczbowych.
Dzięki za pomoc. Doczytałem jeszcze trochę na ten temat. I zauważyłem że metoda obliczania granicy bardziej złożonych ciągów polega na przekształcaniu ich przy pomocy twierdzeń o ciągach w taki sposób, by "wydzielić" ciągi elementarne które się mnożą, dzielą etc (wiem że używam nieformalnego języka skrajnie). I w tym momencie mam zagwozdkę. O ile twierdzenia o ciągach da się znaleźć w 30 sek w google i w każdym podręczniku matematyki, to mam problem ze znalezieniem granic ciągów "elementarnych". Chodzi o np: \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty} \frac{1}{n}}\) - tu udało się mnie doczytać że to \(\displaystyle{ 0}\) W waszym kompendium znalazłem: (sorka że trochę przyśmiecę wam latexem ) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n = e \\ \\ \lim_{n\to\infty} (1-\frac{1}{n})^n = \frac{1}{e} \\ \\\\ \lim_{n\to\infty} (1+\frac{a}{n})^n = e^a, \hspace{10} a \in R \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} =1 \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a} = 1, \hspace{10} a>0 \\ \\ \lim_{n\to\infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \hspace{10} a>0 \\ \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a^n= \begin{cases} 0, \hspace{10} a \in (0; 1) \\ \\ 1, \hspace{10} a= 1 \\ \\ +\infty, \hspace{10} a>1 \end{cases} \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B > 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = +\infty \\ \\ a_n = +\infty \wedge \lim_{n\to\infty} b_n = B \wedge B < 0 \Rightarrow \lim_{n\to\infty} a_nb_n = -\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = +\infty \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n) = -\infty\\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty \\ \\ \\ \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty \hspace{5} \lim_{n\to\infty} b_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n\to\infty}(a_n\cdot b_n) = -\infty}\) Jest powyższy wykaz częściowo zgodny z tym o co mi chodzi. Ale nie rozumiem paru rzeczy. \(\displaystyle{ e}\) - jak wyznaczyć "e"? A jak w przypadku ciągu stałego? Wyznaczyć granicę? 7) Granice funkcji trygonometrycznych oraz granice postaci 0 do potęgi 0 i nieskończoność do potęgi 0 – długość nagrania: 14'21'' 7 zadań pokazujących jak w tradycyjny sposób liczyć granice funkcji trygonometrycznych. 8) Granice typu e – długość nagrania: 26'04'' Granica ciągu liczbowego z liczbą e 10 przykładów z wyznaczeniem granicy ciągu liczbowego z liczbą e, gdy n->∞.Mówimy, że liczba g jest granicą ciągu (an) nϵN+ wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia liczby g należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Prawie wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu spełniają pewien warunek, wtedy i tylko wtedy, gdy warunku tego nie spełnia co najwyżej skończona liczba wyrazów. Mówimy, że ciąg (an), gdzie nϵN+, dąży do nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego A (A ϵ R) prawie wszystkie wyrazy ciągu są większe od A. I przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+7)/(n+9)]3n+8 II przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n+2)/(n-5)]-4n+3 III przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n+4)/(3n-2)]7n+1 IV przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(5n+7)/(5n-1)](n+1)/9 V przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(7n-5)/(7n+6)]-3n+4 VI przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(n2+1)/(n2+5)]2n2+3 VII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(3n2-4)/(3n2+2)]7n2+1 VIII przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-5n3+2)/(-5n3-1)]6n3+5 IX przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(9n9-5)/(9n9+2)]8n9+2 X przykład Wyznacz granicę ciągu liczbowego, gdy n->∞: an=[(-7n21+4)/(-7n21+1)]2n21+3 Post nr 352
Get the free "Granica - limes" widget for your website, blog, Wordpress, Blogger, or iGoogle. Find more Mathematics widgets in Wolfram|Alpha.
Odpowiedzi blocked odpowiedział(a) o 11:59 Granica to 3Najpierw dzielenie przez sprzężenie, a potem dzielisz licznik i mianownik przez mianownik (w ten sposób pozbywasz się mianownika i upraszczasz licznik) Powodzenia ;) 0 0 Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub

Całkowanie to operacja odwrotna do różniczkowania, czyli liczenia pochodnej. Zatem, aby nauczyć się całkować funkcjie musisz umieć liczyć pochodne. Jeśli jeszcze nie umiesz różniczkować funkcji, to zachęcam do zapoznania się z działem "Podstawy" a następnie z działem "Pochodna funkcji".

Oblicz granice ciągu Adi: policzyć granice ciągu przykład najlepiej wpisać w wolframalpha żeby zobaczyć jak wygląda Limit[(3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n))/(−2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n), n −> Infinity] 5 gru 23:31 Mila: 3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n) Lim= tak ? −2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n 5 gru 23:34 Ajtek: Mila, tam chyba są potęgi . 5 gru 23:35 5 gru 23:36 Mila: No to zostawiam Cię Ajtku! walcz. 5 gru 23:38 Ajtek: Mila, fakt, że przypominałem sobie to niedawno ≠ że to umiem . 5 gru 23:43 Mila: Mam liczyć? 5 gru 23:45 Ajtek: Licz . Mi wyszło ∞ na szybko. Zapewne wielbłąd wielki... 5 gru 23:47 5 gru 23:48 Ajtek: Piotr czy my się dzisiaj "witalim" 5 gru 23:49 Piotr: chyba nie Witaj Ajtek, Mila PS ABBA hihi 5 gru 23:50 Piotr: 6 − 1*0 + 2/2 = ? takie zadanie dzisiaj na forum rozwiazalem ..........Piotrowi 5 gru 23:53 Ajtek: Cześć Piotr . Się nie hahaj, ABBA to klasyk 5 gru 23:56 Ajtek: Za trudne Mila, robiłem tą granice w pamięci. Nie miałem pewności, czy wynik się zgadza. A kodować rozwiązania mi się nie chciało. 5 gru 23:59 Mila:32 − n + 510 + 2 n − 7−1 + n =−2−2 + 2 n + 4(1 + n) + 7n 3*(1/3)n+25n+5−(1/7)*7n == 7n+4*4n−4n*(1/4) 3*(1/3)n+255*25n−(1/7)*7n ==dzielę licznik i mianownik przez 7n 1 25 1 3*()n+255* ()n− 21 7 7 lim=∞ 19 4 1+*()n 4 7 6 gru 00:00 Ajtek: Mila 6 gru 00:01 Mila: Ajtek, co ten stworek pluje na mnie? 6 gru 00:06 Ajtek: "Pluje" serduszkami . 6 gru 00:07 Mila: Piotrze, dlaczego wyśmiewasz ABBA? Dobranoc, Panowie 6 gru 00:13 Ajtek: Spokojnej Mila . 6 gru 00:21 Piotr: Dobranoc Mila sie nie wysmiewam tylko zauwazylem w jakims poscie, ze Ajtek cos wspomnial i tak podchwycilem. myslalem ze moze jakos Nasz Znawca rozwinie swoja mysl muzyczna 6 gru 00:28 6 gru 00:34 Piotr: 6 gru 00:43 Ajtek: Mila 6 gru 00:45 asdf: @Mila 32 − n = 32 * 3−n = 9 * (1/3)n 6 gru 01:37 Piotr: 6 gru 01:55 asdf: 6 gru 00:00, druga linijka 6 gru 02:11 Aga1.: @ asdf, masz rację, ale nie ma to wpływu na końcowy wynik. 6 gru 10:17
XIuX.
  • lcoy12n30k.pages.dev/27
  • lcoy12n30k.pages.dev/35
  • lcoy12n30k.pages.dev/89
  • lcoy12n30k.pages.dev/9
  • lcoy12n30k.pages.dev/91
  • lcoy12n30k.pages.dev/19
  • lcoy12n30k.pages.dev/6
  • lcoy12n30k.pages.dev/15

    • jak liczyć granice ciągu